SATHEE: Exercise 01

04 నిర్ణాయకాలు

వ్యాయామం 01

Question:

If A= $[\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ -2 & -3 & -9 \end{matrix}]$ , find |A|.

Answer:

|A| = | $[\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ -2 & -3 & -9 \end{matrix}]$ |

Step 1: Calculate the determinant of the 3x3 matrix.

|A| = (11-9) + (1*-3*-2) + (-21-3) = -14

Step 2: The absolute value of the determinant is the answer.

|A| = |-14| = 14

Question:

Find the values of x, if (i) $| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{matrix} |$ (ii) $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} x & 3 \\ 2x & 5 \end{matrix} |$

Answer:

(i) $| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{matrix} |$

Step 1: Multiply the first row of the first matrix by 2: $| \begin{matrix} 4 & 8 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 6 & x \end{matrix} |$

Step 2: Subtract the second row of the first matrix from the second row of the second matrix: $| \begin{matrix} 4 & 8 \\ 5 & 1 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} 2x & 4 \\ 0 & x-5 \end{matrix} |$

Step 3: Solve for x: x = 5

(ii) $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix} |$ = $| \begin{matrix} x & 3 \\ 2x & 5 \end{matrix} |$

Step 1: Divide the first row of the second matrix by 2: $| \begin{matrix} 2 & 3 \\ zz \end{matrix}$

Question:

If A=

| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{matrix} |

, then show that ∣2A∣=4∣A∣

Answer:

Step 1: Calculate the determinant of A, which is |A| = (1)(2) - (4)(2) = -4.

Step 2: Calculate the determinant of 2A, which is |2A| = (2)(4) - (8)(2) = -16.

Step 3: Divide |2A| by |A|, which is -16/-4 = 4.

Therefore, ∣2A∣=4∣A∣.

Question:

Let A= $[\begin{matrix} 1 & sinθ & 1 \\ -sinθ & 1 & sinθ \\ -1 & -sinθ & 1 \end{matrix}]$ , where 0≤θ≤2π. Then A Det(A)=0 B Det(A)∈(2,∞) C Det(A)∈(2,4) D Det(A)∈[2,4]

Answer:

A Det(A)=0

Question:

Prove that $| \begin{matrix} 1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2p & 4+3p+2q \\ 3 & 6+3p & 10+6p+3q \end{matrix} |$ =1

Answer:

Expand the determinant: $| \begin{matrix} 1 & 1 + p & 1 + p + q \\ 2 & 3 + 2p & 4 + 3p + 2q \\ 3 & 6 + 3p & 10 + 6p + 3q \end{matrix} | = (- 1) p q(1)+2pq(3)+3pq(6)=1$
Group the terms with the same power of p and q: $- 1 p q+2pq+3pq=1$
Combine the coefficients of p and q: $1 + p q+2pq+3pq=1$
Simplify the equation: $1 + 6 p q=1$
Solve for p and q: $p = \frac{0}{q} and q = \frac{0}{6}$

Question:

Let A= $[\begin{matrix} 1 & sinθ & 1 \\ -sinθ & 1 & sinθ \\ -1 & -sinθ & 1 \end{matrix}]$ , where 0≤θ≤2π. Then ∣A∣ lies between

Answer:

First, calculate the determinant of the matrix A:

$∣ [\begin{matrix} 1 & sinθ & 1 \\ -sinθ & 1 & sinθ \\ -1 & -sinθ & 1 \end{matrix}] ∣ = 1 + sin (2θ) - sin (2θ) = 1$

Therefore, the determinant of A lies between 0 and 1 for all values of θ between 0 and 2π.

Question:

Prove that: $| \begin{matrix} sinα & cosα & cos(α+δ) \\ sinβ & cosβ & cos(β+δ) \\ sinγ & cosγ & cos(γ+δ) \end{matrix} |$ =0

Answer:

Expand the determinant using the Laplace Expansion along the first row:

$| \begin{matrix} sinα & cosα & cos(α+δ) \\ sinβ & cosβ & cos(β+δ) \\ sinγ & cosγ & cos(γ+δ) \end{matrix} | = (sinα) | \begin{matrix} cosβ & cos(β+δ) \\ cosγ & cos(γ+δ) \end{matrix} | - (cosα) | \begin{matrix} sinβ & cos(β+δ) \\ sinγ & cos(γ+δ) \end{matrix} | + (cos(α+δ)) | \begin{matrix} sinβ & cosγ \\ sinγ & cosβ \end{matrix} | .$

Simplify the three determinants using the following identities:

$cos(β+δ) = cosβ cosδ - sinβ sinδ$

$cos(γ+δ) = cosγ cosδ - sinγ sinδ$

Substitute the identities into the determinants and simplify:

$| \begin{matrix} cosβ & cosβ cosδ - sinβ sinδ \\ cosγ & cosγ cosδ - sinγ sinδ \end{matrix} | = cosβ cosγ - sinβ sinγ | \begin{matrix} cosδ & - sinδ \end{matrix} |</Question:If a,b,c are in A.P, then the determinant| \begin{matrix} x+2 & x+3 & x+2a \\ x+3 & x+4 & x+2b \\ x+4 & x+5 & x+2c \end{matrix} |is A 0 B 1 C x D 2xAnswer:A. The determinant is 2x.Question:Evaluate the determinants (i) | \begin{matrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & -0 \end{matrix} | (ii) | \begin{matrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} | (iii) | \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{matrix} | (iv) | \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{matrix} |Answer:(i) | \begin{matrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & -0 \end{matrix} |Step 1: Use the method of cofactors to evaluate the determinant.Step 2: Expand the determinant along the first row.Step 3: Multiply each element in the first row with its corresponding cofactor and add them together.Step 4: The determinant is equal to 3 \times (0 \times (-1) - 0 \times (-1)) + (-1) \times (3 \times (-0) - 0 \times (-5)) + (-2) \times (0 \times (-5) - 3 \times (-1))Step 5: Simplify the expression to get the answer: 3 \times (-1) + (-1) \times (-5) + (-2) \times (5) = -6.(ii) | \begin{matrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} |Step 1: Use the method of cofactors to evaluate the determinant.Step 2: Expand the determinant along the first row.Step 3: Multiply each element in the first row with its corresponding cofactor and add them together.Step 4: The determinant is equal to 3 \times (1 \times (-2) - 2 \times (-2)) + (-4) \times (1 \times (1) - 2 \times (3)) + (5) \times (1 \times (3) - 2 \times (1))Step 5: Simplify the expression to get the answer: 3 \times (-2) + (-4) \times (-2) + (5) \times (2) = -20.(iii) | \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{matrix} |Step 1: Use the method of cofactors to evaluate the determinant.Step 2: Expand the determinant along the first row.Step 3: Multiply each element in the first row with its corresponding cofactor and add them together.Step 4: The determinant is equal to 0 \times (-3 \times 3 - 0 \times (-2)) + 1 \times (-3 \times (-2) - 0 \times 0) + 2 \times (-3 \times 0 - 0 \times 3)Step 5: Simplify the expression to get the answer: 0 + (-3) + 0 = -3.(iv) <math xmlns = “ http://www.w3.org/1998/Math/MathMLQuestion:Using properties of determinant, prove that: | \begin{matrix} x & x^{2} & {1+px}^{3} \\ x & y^{2} & {1+py}^{3} \\ x & z^{2} & {1+pz}^{3} \end{matrix} | =(1+pxyz)(x-y)(y-z)(z-x)Answer:Solution:Using the properties of determinants, we can rewrite the given expression as:| \begin{matrix} x & x^{2} & {1+px}^{3} \\ x & y^{2} & {1+py}^{3} \\ x & z^{2} & {1+pz}^{3} \end{matrix} |= (1+px)(1+py)(1+pz)(x-y)(y-z)(z-x)Now, we can factor out the common terms from each row:(1+px)(1+py)(1+pz)(x-y)(y-z)(z-x)= (1+pxyz)(x-y)(y-z)(z-x)Thus, the given expression is equal to (1+pxyz)(x-y)(y-z)(z-x).Question:If true Enter '1' else '0'. | \begin{matrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{matrix} | =-2(x+y)(x2+y2-xy)Answer:Answer: 0Question:Find the value of determinant | \begin{matrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{matrix} |Answer:Solution:Step 1: Calculate the determinant of the given 2x2 matrix.| \begin{matrix} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{matrix} |= 2 x (-1) - 4 x (-5)= 2 + 20= 22Step 2: Therefore, the value of the determinant is 22.Question:If A= | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} |,then show that |3A|=27|A|Answer:Given,
A= | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} |To prove, |3A|=27|A|Step 1: Calculate |A||A|=1 1 4-0 2 0=4Step 2: Calculate |3A||3A|=3 1 4-0 2 0=12Step 3: Calculate 27|A|27|A|=27*4=108Step 4: Compare |3A| and 27|A||3A|=12 and 27|A|=108Hence, |3A|\neq27|A|Question:Find the value of determinant. (i) | \begin{matrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ & cosθ \end{matrix} | (ii) | \begin{matrix} x^{2} & -x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1 \end{matrix} |Answer:(i) To find the value of the determinant, we need to multiply the elements of the first row by the elements of the second row and subtract them from each other. We have:cosθ \times sinθ - (-sinθ) \times cosθ= cosθ \times sinθ + sinθ \times cosθ= (cosθ)² + (sinθ)²= 1Therefore, the value of the determinant is 1.(ii) To find the value of the determinant, we need to multiply the elements of the first row by the elements of the second row and subtract them from each other. We have:(x² - x + 1) \times (x + 1) - (x - 1) \times (x + 1)= x³ + x² - x² - x + 1 - x² + x - x - 1= x³ - 2x + 1Therefore, the value of the determinant is x³ - 2x + 1.Question:If x,y,z are non zero real numbers, then the inverse of matrix A= [\begin{matrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{matrix}] is (A) [\begin{matrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{matrix}] (B) xyz [\begin{matrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{matrix}] (C) 1/xyz [\begin{matrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{matrix}] (D) 1/xyz [\begin{matrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{matrix}]Answer:Answer: (A)[\begin{matrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{matrix}]Question:If | \begin{matrix} x & 2 \\ 18 & x \end{matrix} | = | \begin{matrix} 6 & 2 \\ 3x & 6 \end{matrix} |, then x is equal to A 6 B \pm6 C -6 D 0Answer:Step 1: Calculate the absolute value on the left side of the equation.| \begin{matrix} x & 2 \\ 18 & x \end{matrix} | = |x| + |2| + |18| + |x| = |x| + 2 + 18 + |x|Step 2: Calculate the absolute value on the right side of the equation.| \begin{matrix} 6 & 2 \\ 3x & 6 \end{matrix} | = |6| + |2| + |3x| + |6| = 6 + 2 + |3x| + 6Step 3: Set the two equations equal to each other.|x| + 2 + 18 + |x| = 6 + 2 + |3x| + 6Step 4: Simplify the equation.|x| + 20 = |3x| + 8Step 5: Divide both sides by 3.|x|/3 + 20/3 = |3x|/3 + 8/3Step 6: Simplify the equation.|x|/3 = |3x|/3 + 8/3 - 20/3Step 7: Solve for x.|x|/3 = -12/3Step 8: Take the absolute value of both sides.|x| = 12Therefore, x is equal to 6.Question:Evaluate | \begin{matrix} 1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ x+y & x & y \end{matrix} |Answer:Answer:
Step 1: Write the matrix as a 3x3 matrix|1 x y |
|1 x+y y|
|x+y x y|Step 2: Calculate the determinant of the matrix|1 x y |
|1 x+y y|
|x+y x y|= (1*(x+y) y) - (x y 1) - (y 1 x+y) + (x 1 x) + (y x+y y) - (x+y x*y)= y^2 - xy - y^2 + x^2 + xy - x^2y= y^2 - xy - x^2y= y(y - x)(1 - x)Question:Using properties of determinant, prove that: | \begin{matrix} 3a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3c \end{matrix} | =3(a+b+c)(ab+bc+ca)Answer:Proof:
Step 1: Using the properties of determinants, the given determinant can be written as | \begin{matrix} 3a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3c \end{matrix} | = 3a(-a+b)(-a+c) + 3b(-b+a)(-b+c) + 3c(-c+a)(-c+b)Step 2:
= 3a(-a)(-a+b)(-a+c) + 3b(-b)(-b+a)(-b+c) + 3c(-c)(-c+a)(-c+b)Step 3:
= 3a(-a)(b-a)(c-a) + 3b(-b)(a-b)(c-b) + 3c(-c)(a-c)(b-c)Step 4:
= 3(a+b+c)(ab+bc+ca)Hence, proved.స్టడీ మెటీరియల్‌కి తిరిగి వెళ్ళు JEE స్టడీ మెటీరియల్ (గణితం) 01 సంబంధాలు మరియు విధులు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 02 విలోమ త్రికోణమితి విధులు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 ఇతర పరిష్కారాలను వ్యాయామం చేయండి 03 మాత్రికలు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 ఇతర పరిష్కారాలు 04 నిర్ణాయకాలు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 వ్యాయామం 05 వ్యాయామం 06 ఇతర వ్యాయామాలు 05 కొనసాగింపు మరియు భిన్నత్వం వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 వ్యాయామం 05 వ్యాయామం 06 వ్యాయామం 07 వ్యాయామం 08 ఇతర వ్యాయామాలు 06 డెరివేటివ్‌ల అప్లికేషన్ వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 07 సమగ్రతలు ఎజక్సర్సైజ్ ఇతరత్రా వ్యాయామం 08 ఇంటిగ్రల్స్ యొక్క అప్లికేషన్ ఎజక్సర్సైజ్ ఇతరత్రా వ్యాయామం 09 వెక్టర్స్ వ్యాయామం 01 ఇతర పరిష్కారాలు 10 త్రీ డైమెన్షనల్ జ్యామితి వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 ఇతర సైన్యం 11 లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ ఇతర వ్యాయామాలు 12 సంభావ్యత వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 వ్యాయామం 05 సంభావ్యత ఇతర వ్యాయామం మమ్మల్ని చేరుకోండి.footer-bottom-wrapper{background-color: #f9fafc; padding: 10px 0px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; width: calc(100% + 30px);}
#contactus input, #contactus textarea{background-color: #C0CCDA; color: #000;}
#contactus input:focus, #contactus textarea:focus{background-color: #fff !important;}

.floatingChatBtn{position: fixed; bottom: 175px; right: 10px; background-color: #fff; z-index: 999999999; width: 54px; height: 54px; display: flex; justify-content: center; align-items: center; border-radius: 50%; box-shadow: 0px 2px 6px -1px #ddd;}
.floatingChatBtn a{font-size: 36px; padding: 5px;}

#res-msg span, #response-msg span{display: block;}

.our-sites-link li a{padding: 5px; background-color: #334d6a; color: #e8e8e8; border-radius: 5px; text-decoration: none;}
.ncert-link li{border-right: 1px solid #586c7c; padding-right: 10px;}
.ncert-link li:last-child{margin-right: 0px; padding-right: 0px; border-right: 0px;}మరింత సబ్జెక్టులు నాతో పరిష్కరించండి JEE బ్రేక్ వెబ్నార్ JEE-పరీక్ష NCERT పుస్తకం మరియు ఉదాహరణ వార్తలు ప్రకటనలు NCERT చాప్టర్ ఎక్సర్‌సైజ్ వీడియో సొల్యూషన్ ట్యుటోరియల్ సెషన్స్ NCERT పుస్తకాలు పాఠశాలల కోసం తల్లిదండ్రుల కోసం మెంటర్‌షిప్ పొందండి మమ్మల్ని సంప్రదించండి prutor@iitk.ac.in సతీ మెంటర్‌షిప్ JEE (మెయిన్) కోసం సిలబస్ సహాయ వీడియోలు NCERT సొల్యూషన్స్ NCERT ఫిజిక్స్ 11 సొల్యూషన్స్ NCERT ఫిజిక్స్ 12 సొల్యూషన్స్ NCERT కెమిస్ట్రీ 11 సొల్యూషన్స్ NCERT కెమిస్ట్రీ 12 సొల్యూషన్స్ NCERT గణితం 11 సొల్యూషన్స్ NCERT గణితం 12 సొల్యూషన్స్ మా సైట్లు SATHEE JEE SATHEE NEET *IIT Kanpur and SATHEE logos are the property of IIT Kanpur. Robust Results Private Limited has been allowed to use IIT Kanpur and SATHEE logos for this project. © 2023 Copyright SATHEE గోప్యతా విధానం Prutor@IITK ద్వారా ఆధారితంfunction disableBtn(id){
document.getElementById(id).disabled = true;
}
function enableBtn(id){
document.getElementById(id).disabled = false;
}$(document).ready(function(){
$('[data-toggle="tooltip"]').tooltip();
});$(document).ready(function(){
window.onscroll = function () { scrollFunction() };
console.log("jQuery working...");
});

function scrollFunction() {
var stButton = document.getElementById("st-button");
if (document.body.scrollTop > 20 || document.documentElement.scrollTop > 20) {
stButton.style.display = "block";
} else {
stButton.style.display = "none";
}
}
function topFunction() {
window.scrollTo({top: 0, behavior: 'smooth'});
}Telugu English Hindi Oriya Punjabivar doNotTrack = false;
if (!doNotTrack) {
window.dataLayer = window.dataLayer || [];
function gtag(){dataLayer.push(arguments);}
gtag('js', new Date());
gtag('config', 'G-CFXR84401Y', { 'anonymize_ip': false });
}$