SATHEE: Exercise 03

03 మాత్రికలు

వ్యాయామం 03

Question:

Find 1/2(A+ $\begin{matrix} A^{T} \end{matrix}$ ) and 1/2(A− $\begin{matrix} A^{T} \end{matrix}$ ), when A= $[\begin{matrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{matrix}]$

Answer:

Find A^T:

A^T = $[\begin{matrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & c \\ b & -c & 0 \end{matrix}]$

Find 1/2(A + A^T):

1/2(A + A^T) = $[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & c \\ 0 & c & 0 \end{matrix}]$

Find 1/2(A - A^T):

1/2(A - A^T) = $[\begin{matrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & -c \\ -b & c & 0 \end{matrix}]$

Question:

If A= $[\begin{matrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{matrix}]$ and B= $[\begin{matrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}]$ , then verify that (i) $\begin{matrix} {(A+B)}^{T} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} A^{T} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} B^{T} \end{matrix}$ (ii) $\begin{matrix} {(A-B)}^{T} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} A^{T} \end{matrix}$ − $\begin{matrix} B^{T} \end{matrix}$

Answer:

(i) A+B = $[\begin{matrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2 \end{matrix}]$

(A+B)^T = $[\begin{matrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{matrix}]$

A^T = $[\begin{matrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{matrix}]$

B^T = $[\begin{matrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{matrix}]$

A^T + B^T = $[\begin{matrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2 \end{matrix}]$

Therefore, (A+B)^T = A^T + B^T

(ii) A-B = $[</Question:If (i) A=[\begin{matrix} cosα & sinα \\ -sinα & cosα \end{matrix}], then verify that A'A=I (ii) A=[\begin{matrix} sinα & cosα \\ -cosα & sinα \end{matrix}], then verify that A'A=IAnswer:(i) A’A = [\begin{matrix} cos2α & sinαcosα \\ sinαcosα & sin2α \end{matrix}]Since cos2α + sin2α = 1, A’A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]which is the identity matrix I.(ii) A’A = [\begin{matrix} sin2α & sinαcosα \\ sinαcosα & cos2α \end{matrix}]Since sin2α + cos2α = 1, A’A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]which is the identity matrix I.Question:Find the transpose of each of the following matrices: (i) [\begin{matrix} 5 \\ 1/2 \\ -1 \end{matrix}] (ii) [\begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] (iii) [\begin{matrix} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt3 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{matrix}]Answer:(i) [\begin{matrix} 5 & 1/2 & -1 \end{matrix}](ii) [\begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{matrix}](iii) [\begin{matrix} -1 & \sqrt3 & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1 \end{matrix}]Question:If A= [\begin{matrix} cosα & -sinα \\ sinα & cosα \end{matrix}], then A+A'=I, if the value of α is A π/6 B π/3 C n D 3π/2Answer:A π/6A= [\begin{matrix} cos π / 6 & -sin π / 6 \\ sin π / 6 & cos π / 6 \end{matrix}]A'= [\begin{matrix} cos π / 6 & sin π / 6 \\ -sin π / 6 & cos π / 6 \end{matrix}]A+A'= [\begin{matrix} 2 cos π / 6 & 0 \\ 0 & 2 cos π / 6 \end{matrix}]A+A'= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]Therefore, A+A'=I and the value of α is A π/6.Question:For the matrices A and B, verify that (AB)'=B'A' where (i) A= [\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{matrix}],B= [\begin{matrix} -1 & 2 & 1 \end{matrix}] (ii) A= [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}],B= [\begin{matrix} 1 & 5 & 7 \end{matrix}]Answer:(i)
A= [\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{matrix}],
B= [\begin{matrix} -1 & 2 & 1 \end{matrix}]Step 1: Calculate AB[\begin{matrix} -1 \\ -8 \\ 5 \end{matrix}]Step 2: Calculate (AB)'[\begin{matrix} -1 & -8 & 5 \end{matrix}]Step 3: Calculate B'[\begin{matrix} -1 & 2 & 1 \end{matrix}]Step 4: Calculate B'A'[\begin{matrix} 1 & -4 & 3 \end{matrix}]Therefore, (AB)'=B'A'.(ii)
A= [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}],
B= [\begin{matrix} 1 & 5 & 7 \end{matrix}]Step 1: Calculate AB[\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 17 \end{matrix}]Step 2: Calculate (AB)'[\begin{matrix} 5 & 7 & 17 </m \end{matrix}Question:For the matrix A=[\begin{matrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix}], verify that (i) (A+A') is a symmetric matrix (ii) (A-A') is a skew symmetric matrix.Answer:(i) To verify that (A+A') is a symmetric matrix, we need to show that it is equal to its transpose.A+A' = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{matrix}]= [\begin{matrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{matrix}]A'+A = [\begin{matrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix}]= [\begin{matrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{matrix}]Since A+A' = A'+A, it is a symmetric matrix.(ii) To verify that (A-A') is a skew symmetric matrix, we need to show that it is equal to its negative transpose.A-A' = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{matrix}]= [\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]A'-A = <math xmlns = “ http://www.w3.org/1998Question:If A,B are symmetric matrices of same order, then AB-BA is a ,
A Skew symmetric matrix
B Symmetric matrix
C Zero matrix
D Identity matrixAnswer:Answer: C Zero matrixQuestion:Express the following matrices as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix: (i) [\begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{matrix}] (ii) [\begin{matrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{matrix}] (iii) [\begin{matrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{matrix}] (iv) [\begin{matrix} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{matrix}]Answer:(i) [\begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{matrix}]Symmetric Matrix: [\begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & -2 \end{matrix}]Skew Symmetric Matrix: [\begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix}](ii) [\begin{matrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{matrix}]Symmetric Matrix: [\begin{matrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix}]Skew Symmetric Matrix: [\begin{matrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{matrix}](iii) [\begin{matrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & <mtd \end{matrix}Question:(i) Show that the matrix A=[\begin{matrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{matrix}]is a symmetric matrix (ii) Show that the matrix A=[\begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}]is a skew symmetric matrix.Answer:(i) A matrix A is symmetric if A = AT, where AT is the transpose of A.Let A = [\begin{matrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{matrix}]Then, AT = [\begin{matrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{matrix}]Since A = AT, the matrix A is symmetric.(ii) A matrix A is skew symmetric if A = -AT, where AT is the transpose of A.Let A = [\begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}]Then, AT = [\begin{matrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{matrix}]Since A = -AT, the matrix A is skew symmetric.Question:If A'= [\begin{matrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}] and B= [\begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}], then verify that: (i)(A+B)'=A'+B' (ii)(A-B)'=A'-B'Answer:(i) To verify that (A+B)'=A'+B', we need to calculate (A+B)' and A'+B' separately and then compare them.(A+B)' = [\begin{matrix} 2 & 6 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix}]A'+B' = [\begin{matrix} 2 & 6 & 1 \\ 0 & 4 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix}]Since (A+B)'=A'+B', we can conclude that (i) is true.(ii) To verify that (A-B)'=A'-B', we need to calculate (A-B)' and A'-B' separately and then compare them.(A-B)' = [\begin{matrix} 4 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}]A'-B' = [\begin{matrix} 4 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}]Since (A-B)'=A'-B', we can conclude that (ii) is true.Question:If A'= [\begin{matrix} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}] and B= [\begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}], then find (A+2B)'.Answer:Step 1: Add A and 2B to get (A + 2B)
A + 2B = [\begin{matrix} -3 & 6 \\ 3 & 6 \end{matrix}]Step 2: Find the transpose of (A + 2B)
(A + 2B)' = [\begin{matrix} -3 & 3 \\ 6 & 6 \end{matrix}]స్టడీ మెటీరియల్‌కి తిరిగి వెళ్ళు JEE స్టడీ మెటీరియల్ (గణితం) 01 సంబంధాలు మరియు విధులు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 02 విలోమ త్రికోణమితి విధులు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 ఇతర పరిష్కారాలను వ్యాయామం చేయండి 03 మాత్రికలు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 ఇతర పరిష్కారాలు 04 నిర్ణాయకాలు వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 వ్యాయామం 05 వ్యాయామం 06 ఇతర వ్యాయామాలు 05 కొనసాగింపు మరియు భిన్నత్వం వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 వ్యాయామం 05 వ్యాయామం 06 వ్యాయామం 07 వ్యాయామం 08 ఇతర వ్యాయామాలు 06 డెరివేటివ్‌ల అప్లికేషన్ వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 07 సమగ్రతలు ఎజక్సర్సైజ్ ఇతరత్రా వ్యాయామం 08 ఇంటిగ్రల్స్ యొక్క అప్లికేషన్ ఎజక్సర్సైజ్ ఇతరత్రా వ్యాయామం 09 వెక్టర్స్ వ్యాయామం 01 ఇతర పరిష్కారాలు 10 త్రీ డైమెన్షనల్ జ్యామితి వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 ఇతర సైన్యం 11 లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ ఇతర వ్యాయామాలు 12 సంభావ్యత వ్యాయామం 01 వ్యాయామం 02 వ్యాయామం 03 వ్యాయామం 04 వ్యాయామం 05 సంభావ్యత ఇతర వ్యాయామం మమ్మల్ని చేరుకోండి.footer-bottom-wrapper{background-color: #f9fafc; padding: 10px 0px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; width: calc(100% + 30px);}
#contactus input, #contactus textarea{background-color: #C0CCDA; color: #000;}
#contactus input:focus, #contactus textarea:focus{background-color: #fff !important;}

.floatingChatBtn{position: fixed; bottom: 175px; right: 10px; background-color: #fff; z-index: 999999999; width: 54px; height: 54px; display: flex; justify-content: center; align-items: center; border-radius: 50%; box-shadow: 0px 2px 6px -1px #ddd;}
.floatingChatBtn a{font-size: 36px; padding: 5px;}

#res-msg span, #response-msg span{display: block;}

.our-sites-link li a{padding: 5px; background-color: #334d6a; color: #e8e8e8; border-radius: 5px; text-decoration: none;}
.ncert-link li{border-right: 1px solid #586c7c; padding-right: 10px;}
.ncert-link li:last-child{margin-right: 0px; padding-right: 0px; border-right: 0px;}మరింత సబ్జెక్టులు నాతో పరిష్కరించండి JEE బ్రేక్ వెబ్నార్ JEE-పరీక్ష NCERT పుస్తకం మరియు ఉదాహరణ వార్తలు ప్రకటనలు NCERT చాప్టర్ ఎక్సర్‌సైజ్ వీడియో సొల్యూషన్ ట్యుటోరియల్ సెషన్స్ NCERT పుస్తకాలు పాఠశాలల కోసం తల్లిదండ్రుల కోసం మెంటర్‌షిప్ పొందండి మమ్మల్ని సంప్రదించండి prutor@iitk.ac.in సతీ మెంటర్‌షిప్ JEE (మెయిన్) కోసం సిలబస్ సహాయ వీడియోలు NCERT సొల్యూషన్స్ NCERT ఫిజిక్స్ 11 సొల్యూషన్స్ NCERT ఫిజిక్స్ 12 సొల్యూషన్స్ NCERT కెమిస్ట్రీ 11 సొల్యూషన్స్ NCERT కెమిస్ట్రీ 12 సొల్యూషన్స్ NCERT గణితం 11 సొల్యూషన్స్ NCERT గణితం 12 సొల్యూషన్స్ మా సైట్లు SATHEE JEE SATHEE NEET *IIT Kanpur and SATHEE logos are the property of IIT Kanpur. Robust Results Private Limited has been allowed to use IIT Kanpur and SATHEE logos for this project. © 2023 Copyright SATHEE గోప్యతా విధానం Prutor@IITK ద్వారా ఆధారితంfunction disableBtn(id){
document.getElementById(id).disabled = true;
}
function enableBtn(id){
document.getElementById(id).disabled = false;
}$(document).ready(function(){
$('[data-toggle="tooltip"]').tooltip();
});$(document).ready(function(){
window.onscroll = function () { scrollFunction() };
console.log("jQuery working...");
});

function scrollFunction() {
var stButton = document.getElementById("st-button");
if (document.body.scrollTop > 20 || document.documentElement.scrollTop > 20) {
stButton.style.display = "block";
} else {
stButton.style.display = "none";
}
}
function topFunction() {
window.scrollTo({top: 0, behavior: 'smooth'});
}Telugu English Hindi Oriya Punjabivar doNotTrack = false;
if (!doNotTrack) {
window.dataLayer = window.dataLayer || [];
function gtag(){dataLayer.push(arguments);}
gtag('js', new Date());
gtag('config', 'G-CFXR84401Y', { 'anonymize_ip': false });
}$